Ich habe vier Karten doppelseitig beschrieben, auf der einen Seite ist jeweils ein Buchstabe, auf der anderen Seite eine Zahl. Außerdem gibt es folgende Regel:
Wenn auf der einen Seite ein Vokal steht, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Du siehst nur eine Seite der Karten und sollst für jede Karte einzeln herausfinden, ob sie die Regel verletzen kann. Es sollen also genau die Karten herausgefunden werden, die man prüfen muss und keine Karte angegeben werden, die die Aussage in allen Fällen nicht verletzen kann. Hier sind die Karten:
Beachte, dass die Regel nicht das Gleiche ist, wie eine der folgenden Regeln:
- Auf der einen Seite steht ein Vokal und auf der anderen Seite steht eine gerade Zahl.
- Wenn auf der einen Seite eine gerade Zahl steht, dann steht auf der anderen Seite ein Vokal.
- Genau dann wenn auf der einen Seite ein Vokal steht, steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Welche Karten drehst du um?
Bevor wir zur Lösung kommen, schauen wir uns das Problem analog etwas näher an der Realität an. Jetzt geht es um vier Personen, die jeweils entweder Fußgänger oder Bahnfahrer sind. Sie haben eine Fahrkarte oder eben nicht. Es ist von jedem nur eine der beiden Informationen (Fortbewegung bzw. Fahrkarte) bekannt.
Dargestellt wird auch das durch vier Karten, die entsprechend beidseitig beschriftet sind. Auf der einen Seite steht die Fortbewegungsart, auf der anderen Seite, ob die Person eine Fahrkarte hat.
Hier gibt es jetzt die Regel:
Wenn man mit der Bahn fährt, dann braucht man eine Fahrkarte.
Wer die Regel nicht erfüllt, ist ein Schwarzfahrer. Deine Aufgabe ist es, effizient die möglichen Schwarzfahrer herauszufinden, also möglichst wenig Karten zu benennen, die überprüft werden müssen. Hier sind die Karten:
Wie sieht es hier aus? Was muss man überprüfen?
Beim Bahnfahrer ist die Sache noch recht klar. Hier wissen wir nicht, ob er eine Fahrkarte hat und falls er keine hat, ist er ein Schwarzfahrer. Also muss er überprüft werden.
Beim Fußgänger sieht es etwas anders aus. Es ist egal, ob er einen Fahrschein hat oder nicht, es ist klar, dass er kein Schwarzfahrer ist. Schließlich ist es nicht verboten, eine Fahrkarte zu besitzen, obwohl man nicht mit der Bahn fährt. Auch nach der obigen Regel ist man dann kein Schwarzfahrer. Der Fußgänger muss also nicht überprüft werden.
Was ist mit dem, der eine Fahrkarte hat? Hier besteht das Überprüfen ja daraus, ob die Person Fußgänger oder Bahnfahrer ist. Wenn er ein Fußgänger sein sollte, hat er zwar eine Fahrkarte, das macht ihn aber nicht zum Schwarzfahrer. Auch wenn er mit der Bahn fährt, erfüllt er die Regel. Daher muss diese Person nicht überprüft werden.
Bleibt noch die Person ohne Fahrkarte. Wenn diese Person mit der Bahn fahren sollte (was wir nur durch die Überprüfung herausfinden können), ist sie ein Schwarzfahrer. Andernfalls ist sie kein Schwarzfahrer, wir müssen diese Person also überprüfen.
Insgesamt müssen also der Bahnfahrer und die Person ohne Fahrkarte untersucht werden.
Was bedeutet das für die ursprüngliche Aufgabe?
Wenn man die Probleme versucht ineinander zu übersetzen, ergibt sich, dass die Buchstaben der Fortbewegung und die Zahlen dem Fahrkartenstatus entsprechen. Ein Vokal entspricht einem Bahnfahrer, ein Konsonant einem Fußgänger. Gerade Zahlen bedeuten gerade eine Fahrkarte zu besitzen, ungerade Zahlen entsprechen keiner Fahrkarte. Die Regel ergibt sich dann direkt als gleich.
Die Probleme sind ineinander überführt, genauso funktioniert das mit der Lösung. Der Vokal (also das A) und die ungerade Zahl (die 7) müssen überprüft werden.
Die Aufgabe ist auch als Wahlaufgabe von Wason bekannt. Eine typische, aber falsche, Antwort ist, dass das A und die 4 angeschaut werden müssen, nicht aber die 7.
Bei der 7 könnte sein, dass auf der Rückseite ein Vokal steht, dann wäre die Regel missachtet. Die 4 kann in beiden Fällen (Vokal oder Konsonant) nicht zu einem Widerspruch führen, muss folglich nicht geprüft werden. Das Argument ist das gleiche wie bei der Person, die eine Fahrkarte besitzt, nur ein wenig abstrakter.
Was folgt aus dem Beispiel für die Allgemeinheit?
Schauen wir uns jetzt einmal ganz allgemein zwei Aussagen, nennen wir sie A und B an, die wir miteinander verknüpfen wollen. Außerdem soll gelten, dass aus A auch B folgt. Im ersten Beispiel war A genau die Aussage, dass auf der einen Seite eine Vokal steht. Aussage B war, dass auf der anderen Seite eine gerade Zahl steht.
Wir haben bereits gesehen, dass wir nicht schlussfolgern können, dass aus B dann auch A folgt. Die gerade Zahl musste eben nicht überprüft werden. Man kann im Allgemeinen also nicht einfach A und B vertauschen!
Können wir aber vielleicht eine allgemeine Regel ableiten, warum die 7 überprüft werden muss? Das ist der Fall, wenn B nicht gilt. Wir müssen überprüfen, ob auf der anderen Seite ein Vokal steht. Wenn dort ein Vokal steht, wäre unsere Regel verletzt, daher darf kein Vokal stehen, A darf nicht gelten. Wir hätten also auch folgende alternative Regel für diesen Fall formulieren können:
Wenn auf der einen Seite eine ungerade Zahl steht, steht auf der anderen Seite ein Konsonant.
In der allgemeinen Betrachtung würde das bedeuten, dass aus nicht-B auch nicht-A folgt. Wir wollen uns jetzt also überlegen, ob man ganz allgemein statt „Wenn A gilt, so gilt auch B“ auch „Wenn nicht-B gilt, so gilt auch nicht-A“ schreiben könnte.
Dafür können wir vier Fälle unterscheiden. Schließlich gibt es für A und B jeweils nur zwei Möglichkeiten, sie können gelten oder eben nicht gelten.
Wenn A und B beide gelten, sind beide Schlussfolgerungen richtig. Bei der zweiten tritt die Bedingung nicht ein.
Wenn A und B beide nicht gelten, sind auch beide Schlussfolgerungen richtig. Hier tritt bei der ersten die Bedingung nicht ein.
Falls A gilt und B nicht gilt, sind beide Folgerungen falsch. Die Bedingung ist jeweils erfüllt, das gefolgerte aber falsch.
Falls A nicht gilt und B gilt sind bei beiden Folgerungen die Bedingungen nicht erfüllt und damit die Schlussfolgerungen insgesamt richtig. Aus etwas Falschem kann man alles folgern!
Tatsächlich stimmen also beide Folgerungen in allen möglichen Fällen überein, daher müssen sie gleich sein. Man kann also tatsächlich A und B vertauschen, wenn man jeweils noch ein „nicht“ hinzufügt!
Noch ein Beispiel
Das klassische Beispiel bei Folgerungen ist das folgende:
Wenn es regnet, ist die Strasse nass.
Wir können daraus nicht folgern, dass gilt:
Wenn die Strasse nass ist, regnet es.
Schließlich könnte zum Beispiel jemand mit der Gießkanne rumlaufen und die Strasse bewässern (häufiger ist wohl, dass es aufgehört hat zu regnen, aber die Strasse halt nicht sofort trocken wird).
Wenn wir unsere Feststellung anwenden, können wir aber schlussfolgern:
Wenn die Strasse nicht nass ist, regnet es nicht.
Würde es regnen, wäre die Strasse nass!
Zusammengefasst ist also wichtig, dass man bei zwei Aussagen, die kausal miteinander zusammenhängen, diesen Zusammenhang nicht beliebig vertauschen darf, sondern die Richtung der Kausalität relevant ist. Das ist wohl auch hier schiefgelaufen:
Wenn mehr Einsatzkräfte zu einem Unfall kommen, so ist der Schaden höher.
Die Beobachtung ist wohl richtig, es ist aber definitiv die falsche Massnahme, die Anzahl der Einsatzkräfte zu reduzieren, weil der Zusammenhang vertauscht wurde.
Der nächste Artikel behandelt kreatives Kopfrechnen.