Kubikwurzeln

Was ist die Kubikwurzel aus 417.837.946.176? Diese Aufgabe werden wir in diesem Artikel mit einigen Tricks lösen und diese auch begründen. Es ist gegeben, dass die Kubikwurzel aufgeht, also eine ganze Zahl als Ergebnis herauskommt. Es wurde also eine ganze Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert, wobei 417.837.946.176 herausgekommen ist. Unsere Aufgabe ist es, genau diese Ausgangszahl zu finden. Die Kubikwurzel aus 125 ist zum Beispiel 5, weil 5\cdot5\cdot5=125. Ich empfehle, den Artikel über Teilbarkeitsregeln vor diesem Artikel zu lesen.

Was soll das denn bringen?

Natürlich hat es in der Realität überhaupt keine Anwendung, Kubikwurzeln zu berechnen, insbesondere wenn sie aufgehen müssen. Es kommt halt niemand mit einem Würfel vorbei, sagt das Volumen und fragt nach einer ganzzahligen Seitenlänge. Trotzdem ist es nicht sinnlos solche Aufgaben zu betrachten. Der Lerneffekt liegt eben nicht darin, dass du danach Kubikwurzeln ausrechnen kannst, sondern darin, die verwendeten Methoden besser zu verstehen und ein besseres Verständnis für Mathematik zu bekommen. Außerdem ist diese Aufgabe eine gute Demonstration, wie leicht das Rechnen durch diverse Tricks werden kann. Wir werden eigentlich gar nicht wirklich kopfrechnen.

Was ist die Größenordnung des Ergebnis?

Als Erstes sollten wir uns Gedanken machen, wie viele Stellen unser Ergebnis haben wird. Die Zahl liegt zwischen 10^9 (einer 1 mit 9 Nullen) und 10^{12}. Also liegt das Ergebnis zwischen 1.000 und 10.000, denn 1000^3~=~(10^3)^3~=~10^9 und (10^4)^3~=~10^{12}. Damit wird unsere Lösung also insgesamt vierstellig sein. Allgemein kann man sich überlegen, dass man die Anzahl der Stellen der Kubikzahl durch 3 (die 3 kommt daher, dass wir die 3. Wurzel betrachten) teilt und aufrundet und somit die Anzahl der Stellen des Ergebnis erhält. Auch das lässt sich zum Beispiel mit der Eingrenzung durch die Zehnerpotenzen begründen. Wenn man beispielsweise die Kubikwurzel aus einer achtstelligen Zahl bestimmen möchte, wird die Lösung drei Stellen haben.

Was ist die erste Stelle?

Die erste Stelle des Ergebnis kann man fast genauso gut abschätzen, wie die Anzahl der Stellen. Die Basis hierfür ist allerdings, die Kuben von einstelligen Zahlen zu kennen. Hier eine Liste dazu:

• 1^3=1
• 2^3=8
• 3^3=27
• 4^3=64
• 5^3=125
• 6^3=216
• 7^3=343
• 8^3=512
• 9^3=729

Für die erste Stelle schauen wir uns die Ziffern vor dem ersten Punkt an, also 417, weil wir dann genau 9 Stellen ignorieren, was durch die drei fehlenden Stellen im Ergebnis kompensiert wird. Wir stellen fest, dass

343\lt417\lt512 \;,

die erste Stelle muss folglich eine 7 sein. Die Kubikzahl liegt schließlich zwischen 7000^3 und 8000^3.

Bestimmung der letzten Stelle

Die letzte Stelle ist die einfachste, weil wir sie eigentlich nur ablesen müssen. Beobachte, dass bei den einstelligen Kuben alle Endziffern verschieden sind, damit können wir eindeutig auf die letzte Stelle schlussfolgern, weil die Kubikwurzel aufgehend ist. Unsere Kubikzahl endet auf 6, wir finden also die 216 und sehen, dass das Ergebnis auch auf 6 enden muss. Wenn die Endziffer in der Aufgabe eine 8 gewesen wäre, würde die Lösung auf eine 2 enden.

Doch warum genügt es, sich die einstelligen Kuben anzuschaunen? Wir können hier modulo 10 argumentieren (siehe Artikel über Teilbarkeit), das entspricht ja genau der Betrachtung der Endziffer. Alternativ kann man feststellen, dass

\begin{aligned}(10a+b)^3&=(10a+b)(10a+b)(10a+b)\\&=1000a^3+300a^2b+30ab^2+b^3\;.\end{aligned}

Alle Summanden bis auf den letzten sind durch 10 teilbar, beeinflussen also die Endziffer nicht. Daher genügt es die Endziffer der Kubikzahl mit den einstelligen Kuben zu vergleichen, um auf die Endziffer der Lösung zu kommen.

Bestimmung der vorletzten Stelle

Wenn wir uns die ausmultiplizierte Summe oben noch einmal anschauen und uns jetzt für die letzten beiden Stellen insteressieren (also modulo 100), müssen wir nur die beiden letzten Summanden, also 30ab^2+b^3 anschauen. Wir möchten dabei die letzte Stelle van a bestimmen und wissen schon, dass b=6 gilt. Setzen wir das mal ein, erhalten wir

30\cdot 6\cdot 6\cdot a+216\;.

Dies muss modulo 100 genau den Endziffern der Kubikzahl entsprechen, also 76. Es folgt

1080a+16\equiv 76 \mod 100\;.

Vereinfachung liefert

80a\equiv60 \mod 100\;.

Wir suchen also eigentlich nach einer einstelligen Zahl, die mit 8 multipliziert auf 6 endet. Hier gibt es zwei Optionen, nämlich 2 und 7. Die vorletzte Stelle ist also eine 2 oder 7.

Wenn die letzte Stelle ungerade, aber nicht 5, gewesen wäre, hätten wir es jetzt einfacher, weil es dann nur eine Option gibt. Falls die letzte Stelle eine 5 ist, gibt es ganze 5 Möglichkeiten, womit diese Methode nicht ganz so gut anwendbar ist. Ansonsten bleibt zu erwähnen, dass man sich auch bei diesem Schritt einiges merken könnte (zum Beispiel hängt die 80 nur von der Endziffer 6 ab), um die Berechnung schneller durchführen zu können. Das Ziel ist aber zu verstehen, was in diesem Schritt passiert ist.

Wie können wir denn nun unterscheiden, ob es eine 2 oder eine 7 sein muss? Falls die Endziffer gerade ist, gibt es immer zwei Möglichkeiten, die auch genau Differenz 5 haben. Diese können wir dadurch unterscheiden, ob die Kubikzahl durch 16 teilbar ist. Falls die Endziffern 76 sind, sind die letzten beiden Endziffern unserer Lösung durch 4 teilbar, also ist die Lösung durch 4 teilbar. Damit muss die Kubikzahl durch 4^3=64 teilbar sein. Insbesondere muss sie durch 16 teilbar sein. Sind die Endziffern 26, so ist unsere Lösung nicht durch 4 teilbar, enthält also nur einen Primfaktor 2. Damit enthält die dritte Potenz nur drei Primfaktoren 2 und ist nicht durch 16 teilbar.

In unserem Beispiel müssen wir prüfen, ob 4176 durch 16 teilbar ist. Bei diesem Schritt kann man gut ausnutzen, dass 400 durch 16 teilbar ist und somit auch 4000. Es bleiben 176 übrig, was genau 11 \cdot 16 ist. Also ist die Kubikzahl durch 16 teilbar und somit die vorletzte Stelle eine 7.

Die verbleibende Stelle

Bis jetzt wissen wir:

\sqrt[3]{417.837.946.176}=7\_76

Für die letzte verbleibende Stelle nutzen wir den Elferrest (siehe Artikel über Teilbarkeitsregeln). Wenn man den Elferrest der Lösung hoch drei nimmt, muss genau der Elferrest der Kubikzahl herauskommen, weil für x\equiv y \mod 11 auch x^3 \equiv y^3 \mod 11 gilt. Das Problem ist, dass wir ja den Elferrest der Kubikzahl ausrechnen können, aber unsere Lösung noch nicht kennen. Wir müssen also in die andere Richtung, glücklicherweise ist diese aber eindeutig. Schauen wir uns mal die Reste zur dritten Potenz an:

• 0^3=0, also Rest 0
• 1^3=1, also Rest 1
• 2^3=8, also Rest 8
• 3^3=27, also Rest 5
• 4^3=64, also Rest 9
• 5^3=125, also Rest 4
• 6^3=216, also Rest 7
• 7^3=343, also Rest 2
• 8^3=512, also Rest 6
• 9^3=729, also Rest 3
• 10^3=1000, also Rest 10

Der Elferrest der Kubikzahl ist 6-7+1-6+4-9+7-3+8-7+1-4=2 \;. Der Rest 2 taucht bei 7^3 auf, also ist der Elferrest des Ergebnis gleich 7. Bezeichnen wir die verbleibende Stelle mit x, so erhalten wir 6~-~7~+~x~-~7~\equiv~7 \mod 11, also x\equiv 15 \mod 11, womit die verbleibende Ziffer eine 4 ist. Die Lösung ist also 7476.

Diese Methoden kannst du jetzt für beliebige aufgehende Kubikwurzeln bis zu 12 Stellen anwenden (außer vierstellige Ergebnisse, die auf 5 enden). Falls das Ergebnis weniger als vier Stellen hat, kannst du nach Belieben entsprechend Methoden weglassen, zum Beispiel die für die vorletzte Stelle. Falls das Ergebnis nur zwei Stellen hat, wird es noch deutlich einfacher, weil man die beiden Lösungstellen beide im Prinzip direkt ablesen kann.

Im nächsten Artikel beschäftigen wir uns mit vollständiger Induktion.