Was ist die Wurzel aus 7.907.344? In diesem Artikel werden wir ähnlich wie im Artikel über Kubikwurzeln vorgehen und Schritt für Schritt mit möglichst wenig tatsächlichem Rechnen die Lösung bestimmen. Wir werden dabei wieder ausnutzen, dass auch hier das Ergebnis eine ganze Zahl ist. Wir suchen also eine positive ganze Zahl, sodass ihr Quadrat genau 7.907.344 ist.
Bestimmung der Größenordnung
Wir betrachten hier die 2. Wurzel, daher entspricht eine Stelle im Ergebnis also zwei Stellen im Ergebnis. Wenn man eine n-stellige Zahl quadriert, erhält man entweder eine 2n-1– oder 2n-stellige Zahl. Das Ergebnis muss also vierstellig sein. Es liegt schließlich zwischen 1000^2=1.000.000 und 10000^2=100.000.000. Genauer liegt es zwischen 2000^2 und 3000^2, also ist die erste Stelle des Ergebnis eine 2.
Die Notation mit Punkten für jeweils drei Stellen war bei Kubikwurzeln besonders hilfreich, weil man sich immer nur die Stellen bis zu einem Punkt anschauen konnte, um die ersten Stellen zu bestimmen. Bei Qudratwurzeln bilden wir von hinten Zweiergruppen und erhalten 7\mid90\mid73\mid44. Hier könnnen wir also auch sofort erkennen, dass das Ergebnis vierstellig ist, weil vier Gruppen gebildet wurden. Außerdem liegt 7 zwischen 4 und 9, womit die erste Stelle eine 2 ist.
Für die zweite Stelle müssen wir jetzt herausfinden, was das nächstkleinere Quadrat unter 790 ist. Bei diesem Schritt muss man also zweistellige Quadrate ausrechnen. Einige Tipps dafür findest du im Artikel 75\cdot 77. Beispielsweise sind die Qudrate, die auf 5 enden, besonders leicht zu berechnen. Es ist 25^2=625 (Wie ging das nochmal?). Ein Trick ist jetzt die Differenz zum nächsten Quadrat auszunutzen. Es ist 26^2-25^2=26+25=51. Allgemein ist (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1.
Wir starten also bei 25^2=625. Wir addieren 2\cdot25+1 und erhalten 26^2=676. Dann addieren wir 2\cdot26+1=53. Also ist 27^2=729. Da wir weiterhin unterhalb von 790 sind, addieren wir 2\cdot27+1. Es folgt 28^2=784. Wenn wir noch 57 addieren, kommen wir mit 841 deutlich über 790. Die ersten beiden Stellen sind also 28. Außerdem liegt die Ausgangszahl deutlich näher an 2800^2 also an 2900^2, was wir uns für den nächsten Schritt schon einmal merken können.
Die Endziffern von Quadratzahlen
Bei den Kubikwurzeln war die letze Stelle des Ergebnis immer sofort gegeben. Bei Quadratwurzeln ist das leider nicht der Fall. Solange sie nicht auf eine 5 (oder 0) endet, gibt es immer zwei Möglichkeiten für die Endziffer. Diese ergänzen sich auch immer zu 10. In unserem Beispiel endet die gegebene Zahl auf eine 4. Damit muss die Lösung auf 2 oder 8 enden.
Schauen wir uns nun die letzten beiden Stellen an. Diese sind 44. Wir suchen jetzt eine Zahl von 1 bis 25, deren Qudrat auf diese letzten beiden Ziffern endet. Da die Zahl auf 2 oder 8 enden muss, kommen auch nur 2, 8, 12, 18 und 22 in Frage. Es ist 12^2=144, was tatsächlich auf 44 endet. Außer für die Endziffern 25 (und 00) gibt es für die Endziffern der Lösung genau vier Möglichkeiten. Wenn a die gefundene Zahl bis 25 ist, sind die weiteren Möglichkeiten 50-a, 50+a und 100-a.
Warum ist das so? Wir betrachten nur die letzten beiden Stellen, also arbeiten wir modulo 100. Es ist aber zum Beispiel (50-a)^2=2500-100a+a^2\equiv a^2 \mod 100. Genauso gilt das auch für die weiteren beiden Fälle. Es gibt auch keine weiteren Lösungen mit diesen Endziffern, weil die Endziffern der Qudrate bis 25 alle verschieden sind, außer eben für Zahlen, die auf 0 oder 5 enden. Wenn eine Zahl auf 5 endet, bekommt man dafür die letzte Stelle geschenkt (es gibt nur eine Möglichkeit). Bei einer 0 kann man die letzten beiden Stellen einfach weglassen und sucht eine Lösung mit einer Stelle weniger.
Die richtigen Endziffern auswählen
In unserem Beispiel gibt es jetzt nur noch die möglichen Lösungen 2812, 2838, 2862 und 2888. Für die letzten beiden Stellen sind immer zwei Lösungen größer als 50 und zwei kleiner als 50, daher bietet es sich an, das auf 5 endende Quadrat auszurechnen, weil das auch nicht mehr so schwer ist. Wir berechnen also 2850^2. Da wir schon wissen, dass 28^2=784, müssen wir nur 28 addieren und 25 anhängen, wir erhalten 285^2=81225. Wenn wir noch zwei Nullen anhängen, stellen wir fest, dass das zu groß ist. Daher kommen 2862 und 2888 nicht in Frage.
Es bleiben noch zwei Möglichkeiten. An dieser Stelle kommt man meistens recht gut mit schätzen aus, schließlich liegt die gegebene Zahl deutlich näher an 2800^2 als an 2850^2. Wenn du etwas mehr Sicherheit möchtest, kann man auch noch Teilbarkeiten anwenden. Beispielsweise ist 2838 durch 3 teilbar, 7.907.344 aber nicht. Alternativ kann man feststellen, dass die Zahl durch 8 teilbar ist (und damit auch durch 16), also muss das Ergebnis durch 4 teilbar sein. In allen Fällen kommt man auf die richtige Lösung 2812.
Falls Schätzen oder Teilbarkeit gar nicht funktionieren sollte, kann man auch noch ein weiteres Quadrat zwischen den möglichen Lösungen ausrechnen. In diesem Fall zum Beispiel 2825^2 oder auch 2820^2. Das ist aber natürlich deutlich rechenlastiger.
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