Selbst beweisen!

In diesem Artikel sollst du selbst aktiv werden und ein mathematisches Problem lösen. Weil das nicht einfach ist, wenn man sowas noch nicht gemacht hat, werde ich zahlreiche Tipps geben, die du nach und nach soweit nötig benutzen kannst.

Die Aufgabe

Zeige, dass die Summe zweier aufeinanderfolgender ungerader Primzahlen mindestens drei (nicht unbedingt verschiedene) Primfaktoren hat!

Was sind Primzahlen und Primfaktoren?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl (also eine positve ganzzahlige Zahl) mit genau zwei Teilern, nämlich 1 und sich selbst. Insbesondere ist 1 keine Primzahl, weil sie genau einen Teiler hat. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, usw.

Die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist eine Zerlegung in ein Produkt von Primzahlen. Zum Beispiel ist 18=2\cdot 3 \cdot 3. Die Primfaktorenzerlegung einer Primzahl ist genau die Primzahl selbst. Die Zahl 1 ist ein Spezialfall, hier ist die Primfaktorenzerlegung das leere Produkt, wir haben also 0 Faktoren.

Mit aufeinanderfolgenden Primzahlen sind zwei Primzahlen gemeint, sodass zwischen ihnen keine weiteren Primzahlen liegen. Es ist nicht gefordert, dass die beiden Primzahlen ein Primzahlzwilling sind, also Differenz 2 haben. Zum Beispiel sind 7 und 11 aufeinanderfolgende Primzahlen.

Beispiele für die Aussage der Aufgabe sind 3+5=8=2\cdot 2 \cdot 2 und 29+31=60=2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5.

Allgemeine Tipps

Zum Lösen solcher Aufgaben gibt es ein paar allgemeine Vorgehensweisen, die immer hilfreich sind. Als Erstes ist es eigentlich immer ratsam, einige kleine Beispiele auszuprobieren und versuchen, gewisse Regelmäßigkeiten zu entdecken. Wenn du eine solche entdeckst, solltest du dir in einem zweiten Schritt überlegen, ob sie allgemein gilt oder du ein Gegenbeispiel findest.

Beispielsweise könnte man vermuten, dass es immer genau drei Primfaktoren sein müssen (was auch immer das bringen mag…) und mit 60 ein Gegenbeispiel finden. Dann muss man diese Idee erst einmal nicht mehr weiterverfolgen.

Außerdem solltest du dir überlegen, warum gewisse Voraussetzungen gegeben sind (Warum müssen die Primzahlen ungerade sein? Wieso aufeinanderfolgend?). Überlege dir auch Gegenbeispiele, wenn du Voraussetzungen ignorierst, das gibt ein besseres Gefühl für die Aufgabe.

Es ist hilfreich, wenn du die beiden Primzahlen benennst, zum Beispiel mit a und b.

Wahrscheinlich wird es dir erst einmal so gehen, dass du keine Idee hast, wie man sowas beweisen soll und wo man anfängt. Das Schwierige, aber auch gerade das Interessante, ist, dass es eben kein Schema gibt, wie man allgemein eine solche Aufgabe sicher löst. Umso schöner ist es dann, wenn die Lösung gefunden ist.

Falls du nicht weiter kommen solltest, gibt es insgesamt einige Tipps, die du bei Bedarf verwenden kannst. Versuche aber mit möglichst wenig Tipps auszukommen. Wenn du die gleiche Idee schon hattest, zählt das aber natürlich nicht als verwendeter Tipp.

Besonders bei den ersten Tipps kann es vorkommen, dass du mit der Lösung schon weiter bist als der Tipp. Wenn du also schon entscheidende Beobachtungen gemacht hast, kann es gut sein, dass der Tipp genau darauf abzielt.

Und jetzt viel Spaß mit der Aufgabe!

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Ich hoffe, dass du die Aufgabe mit den Tipps lösen konntest. Wenn das nicht der Fall ist, versuche doch noch einmal Schritt für Schritt die Ideen nachzuvollziehen und zu einem Beweis zusammenzufügen.

Hier gibt es noch eine vollständig ausformulierte Lösung der Aufgabe.

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Der nächste Artikel behandelt Grundlagen zu Logik.